Pour aller plus loin (Ancien programme) - STI2D/STL
Les probabilités
Exercice 1 : Paramètre de la loi exponentielle à partir d'une probabilité - une borne
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \geq 4 \right) = \dfrac{1}{2}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \geq 4 \right) = \dfrac{1}{2}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).
Exercice 2 : Calculs autour du paramètre d'une loi exponentielle
En 2014, le robot Philae s'est posé sur la comète Tchouri après plus de dix ans de voyage dans l'espace. Les scientifiques purent
ainsi pour la première fois étudier la composition d'une comète et ses propriétés.
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 23 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 23)\) qu'une panne survienne lors des 23 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 23 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 23)\) qu'une panne survienne lors des 23 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
À quel ensemble doit appartenir \(a\) si l'on souhaite réduire cette probabilité à au plus 0,01 ?
On attend le résultat sous la forme d'un intervalle : \(\left]0 ; l\right]\) avec \(l\) une valeur à déterminer.
Exercice 3 : Trouver l'espérance d'une loi normale connaissant l'écart type
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi normale d'écart type \( \sigma = 2 \) telle que \(P\left( X \leq140 \right) = 0,34\).
Calculer l'espérance de \( X \) arrondi à \(10^{-4}\).
Calculer l'espérance de \( X \) arrondi à \(10^{-4}\).
Exercice 4 : Probabilité loi normale : calculs divers en utilisant un graphique
Après réalisation d'une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré
quotidiennement par un élève à faire ses devoirs scolaires, est une variable
aléatoire \(X\) suivant une loi normale d'espérance 40 minutes et d'écart-type
23 minutes.
L'allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous.
L'égalité \(P\left(X \le 13 \right) = 0,12 \) est illustrée graphiquement.
Dans tout l'exercice, on donnera des réponses à \(10^{-3}\) près.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins de 13 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins de 67 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement plus de 40 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Exercice 5 : Probabilité loi normale - deux bornes
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres \( \mu = 0 \) et \( \sigma = 5 \).
Donner une valeur arrondie à \( 10^{-4} \) près de la probabilité \( P( -5 \leq X \leq -2 ) \) notée \( p \).